《组合数学》第二章 排列组合(续)

第49题提到的恒等式的另一种证明

证明下面的恒等式

证明:比较等式

两端的系数,左端的系数根据二项式定理可以知道为;右端的系数看作从项中选取项利用其中的的方法数,现在按照选取的第一个的位置来划分:第一个选取第项时,在剩余的项内选取其他,则剩余的项数至少为,至多为,且有种方式得到,从而右端的系数为

至此,恒等式证毕。

第51题

考虑大小为的多重集,确定它的组合数。

证明:考虑先从中选取个数(),剩余的个对象则都是。根据加法原理,多重集组合数为

第52题

考虑大小为的多重集,确定它的组合数。

证明:考虑先从中选取个数(),共有种方法;再从中选取),这里有种可能;最后剩余的元素都是。因此,多重集组合数为

第52题证明时一个错误想法得到的恒等式

在上面证明中考虑选取的方法数时错误的直接套用了选取数公式,得到有

因此需要计算的式子为

考虑等式

在等式的右边,对于中次数为)的项都去乘以中次数小于等于的项,这样得到的项的次数的范围就是,即中所有次数小于等于的项的次数之和,所以

因此,有恒等式

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本文标题:《组合数学》第二章 排列组合(续)

文章作者:Perry

发布时间:2019年09月10日 - 22:44

最后更新:2019年10月04日 - 17:54

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